指数函数的导数公式是如何推导出来的，指数函数求导公式详细推导过程-华宇考试网

a^xlna

推导过程

y=a^x

两边同时取对数：

lny=xlna

两边同时对x求导数：

==y/y=lna

==y=ylna=a^xlna

导数的求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则请看下方具体内容：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对这当中每个部分求导后再取线性组合（即（1）式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即（2）式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即（3）式）。

4、假设有复合函数，则用链式法则求导。

设：指数函数为：y=a^x

y'=lim【△x→0】[a^(x+△x)-a^x]/△x

y'=lim【△x→0】{(a^x)[(a^(△x)]-a^x}/△x

y'=lim【△x→0】(a^x){[(a^(△x)]-1}/△x

y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x…………(1)

设：[(a^(△x)]-1=M

则：△x=log【a】(M+1)

因为这个原因,有：‘

{[(a^(△x)]-1}/△x

=M/log【a】(M+1)

=1/log【a】[(M+1)^(1/M)]

当△x→0时,有M→0

故：

lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x

=lim【M→0】1/log【a】[(M+1)^(1/M)]

=1/log【a】e

=lna

代入(1),有：

y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x

y'=(a^x)lna

证毕.

指数函数求导公式

令△X=1/n,n→∞

因为

故此，

二、推导底数为a的指数函数求导公式

令a＞0且a≠1

a^xlna

推导过程

y=a^x

两边同时取对数：

lny=xlna

两边同时对x求导数：

==y/y=lna

==y=ylna=a^xlna

导数的求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数

则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则请看下方具体内容：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对这当中每个部分求导后再取线性组合（即（1）式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即（2）式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式

：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即（3）式）。

4、假设有复合函数

，则用链式法则

求导。

a^xlna

推导过程

y=a^x

两边同时取对数：

lny=xlna

两边同时对x求导数：

==y/y=lna

==y=ylna=a^xlna

导数的求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则请看下方具体内容：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对这当中每个部分求导后再取线性组合（即（1）式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即（2）式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即（3）式）。

4、假设有复合函数，则用链式法则求导。

1、指数函数的求导公式：(a^x)=(lna)(a^x)

2、部分导数公式：

（1）y=c(c为常数) y=0

（2）y=x^n y=nx^(n-1)

（3）y=a^x；y=a^xlna；y=e^x y=e^x

（4）y=logax y=logae/x；y=lnx y=1/x

（5）y=sinx y=cosx

（6）y=cosx y=-sinx

（7）y=tanx y=1/cos^2x

（8）y=cotx y=-1/sin^2x

（9）y=arcsinx y=1/√1-x^2

（10）y=arccosx y=-1/√1-x^2

（11）y=arctanx y=1/1+x^2

（12）y=arccotx y=-1/1+x^2

3、求导证明：

y=a^x

两边同时取对数，得：lny=xlna

两边同时对x求导数，得：y/y=lna

故此，y=ylna=a^xlna，得证。

4、须知

不是全部的函数都可以求导；

可导的函数一定连续，但连续的函数未必可导（如y=|x|在y=0处不可导）。

导数的求导法则请看下方具体内容：

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则请看下方具体内容：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对这当中每个部分求导后再取线性组合（即（1）式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即（2）式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即（3）式）。

4、假设有复合函数，则用链式法则求导。

设：指数函数为：y=a^x

y=lim【△x→0】[a^(x+△x)-a^x]/△x

y=lim【△x→0】{(a^x)[(a^(△x)]-a^x}/△x

y=lim【△x→0】(a^x){[(a^(△x)]-1}/△x

y=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x…………(1)

设：[(a^(△x)]-1=M

则：△x=log【a】(M+1)

因为这个原因,有：‘

{[(a^(△x)]-1}/△x

=M/log【a】(M+1)

=1/log【a】[(M+1)^(1/M)]

当△x→0时,有M→0

故：

lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x

=lim【M→0】1/log【a】[(M+1)^(1/M)]

=1/log【a】e

=lna

代入(1),有：

y=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x

y=(a^x)lna